a>0,b>0,证明当n大于等于2时,a的n次方根+b的n次方根>（a+b）的n次方根

Question

a>0,b>0,证明当n大于等于2时,a的n次方根+b的n次方根>（a+b）的n次方根

Answer 1

证明
因为 a>0,b>0,
当n=2时
（根号a+根号b）²=a+b+2根号ab>a+b
当n大于2时
设a的n次方根为c,b的n次方根为d
则有
（c+d）的n次方=c^n+C(n,1)c^(n-1)d+C(n,2)c^(n-2)d^2+C(n,3)c^(n-3)d^3+……+C(n,n-2)c^2d^(n-2)+C(n,n-1)cd^(n-1)+d^n
且a>0,b>0,所以c>0,d>0
则有C(n,1)c^(n-1)d+C(n,2)c^(n-2)d^2+C(n,3)c^(n-3)d^3+……+C(n,n-2)c^2d^(n-2)+C(n,n-1)cd^(n-1)>0
那么（c+d）的n次方>c的n次方+b的n次方
即a的n次方根+b的n次方根>（a+b）的n次方根