((1+1/n)^(n^2))/e^nn趋向∞为什么分母不能直接化为e^n,结果为什么不是1

Question

((1+1/n)^(n^2))/e^n n趋向∞
为什么分母不能直接化为e^n,结果为什么不是1

Answer 1

你是问分子为什么不能用(1+1/n)^n → e变为e^n?
或者说(1+1/n)^(n^2)/e^n = ((1+1/n)^n/e)^n的极限为什么不是1^n = 1.
原因是((1+1/n)^n/e)^n的底数趋于1,但是指数趋于无穷,极限运算法则不能直接应用于可变的指数.
一个底数趋于1,指数趋于无穷的幂是未定型.
未定型的极限要具体算才知道,比如(1+1/n)^n → e,但是(1+2/n)^n → e^2.
用Taylor展开:x → 0时,ln(1+x) = x-x^2/2+o(x^2).
于是n → ∞时,ln(1+1/n) = 1/n-1/(2n^2)+o(1/n^2),
故n^2·ln(1+1/n)-n = -1/2+o(1),即n^2·ln(1+1/n)-n → -1/2.
得(1+1/n)^(n^2)/e^n = e^(n^2·ln(1+1/n)-n) → e^(-1/2) = 1/√e.