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设f(x)是一个n次多项式,若当k=0,1,...,n时有f(k)=k/(k+1),求f(n+1)~
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设f(x)是一个n次多项式,若当k=0,1,...,n时有f(k)=k/(k+1),求f(n+1)~
▼优质解答
答案和解析
由题意知方程f(x)-x/(x+1)=0由n+1个根:0、1、2、……、n,即方程(x+1)f(x)-x=0有n+1个根,而(x+1)f(x)-x是n+1次多项式,所以
(x+1)f(x)-x=(x-0)(x-1)(x-2)……(x-n)=x(x-1)(x-2)……(x-n)
代入x=n+1得
f(n+1)=[n+1+(n+1)!]/(n+2)
(x+1)f(x)-x=(x-0)(x-1)(x-2)……(x-n)=x(x-1)(x-2)……(x-n)
代入x=n+1得
f(n+1)=[n+1+(n+1)!]/(n+2)
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