凸正多边体为什么只有5种如题,最好有证明,

Question

凸正多边体为什么只有5种
如题,最好有证明,

Answer 1

试想,凸正多边体的每个顶点周围,能有多少个正多边形呢?
显然,至少3个.那么至多呢?
如果是正三边形（正三角）,那么每个顶点周围可以有3个、4个、5个正多边形,而不能有6个或6个以上,否则,这些多边形的角（都是60°）加起来就达到或超过360°,从而多边体就不是凸的了.由顶点周围正三角形的数目组合排列,一共有正四面体,正八面体、正二十面体.
同理,对于正四边形（正方形）,每个顶点只能有3个.有正六面体（正方体）一种.
对于正五边形（角为108°）,每个顶点只能有3个.有正十二面体,一种.
而正六边形或边数更多的正多边形,角大于等于120°,就不可能拼接成正多边体,否则,相邻多边形的角（都是60°）加起来也都达到或超过360°.
所以,共有5种.
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自己敲的,无参考资料.