某学校小组利用暑假中前40天参加社会实践活动，参与了一家网上书店的经营，了解到一种成本为20元/本的书在x天销售量p=50-x，在第x天的售价为y（元/本），y与x的关系如图所示．已知当社

Question

某学校小组利用暑假中前40天参加社会实践活动，参与了一家网上书店的经营，了解到一种成本为20元/本的书在x天销售量p=50-x，在第x天的售价为y（元/本），y与x的关系如图所示．已知当社会实践活动时间超过一半后．y=20+(315)/(x)

（1）请求出当1≤x≤20时，y与x的函数关系式，请问第几天此书的销售单价为35元/本？
（2）这40天中该网点销售此书第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？

Answer 1

（1）当1≤x≤20时，设y=kx+b，
将（1，30.5），（20，40）代入得

k+b=30.5

20k+b=40

，
解得

k=(1)/(2)

b=30

．
则y与x的函数关系式为y=(1)/(2)x+30；
当1≤x≤20时，令(1)/(2)x+30=35，解得x=10，
当21≤x≤40时，令20+(315)/(x)=35，解得：x=21，
经检验得x=21是原方程的解且符合题意，
即第10天或者第21天该商品的销售单价为35元/件；

（2）设该网店第x天获得的利润为w元．
当1≤x≤20时，w=（(1)/(2)x+30-20）（50-x）=-(1)/(2)x²+15x+500=-(1)/(2)（x-15）²+(1225)/(2)，
∵-(1)/(2)<0，
∴当x=10时，w有最大值w₁，且w₁=(1225)/(2)，
当21≤x≤40时，w=（20+(315)/(x)-20）（50-x）=(15750)/(x)-315，
∵15750>0，
∴(15750)/(x)随x的增大而减小，
∴x=21时，(15750)/(x)最大．
于是，x=21时，w有最大值w₂，且w₂=(15750)/(21)-315=435，
∵w₁>w₂，
∴这40天中该网点销售此书第10天获得的利润最大，最大的利润是612.5元．