设位于点（0，1）的质点A对质点M的引力大小为kr2（k＞0，为常数，r为A质点与M之间的距离），质点M沿曲线y=2x−x2自B（2，0）运动到O（0，0），求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功

Question

设位于点（0，1）的质点A对质点M的引力大小为(k)/(r2)（k＞0，为常数，r为A质点与M之间的距离），质点M沿曲线y=√(2x−x2)自B（2，0）运动到O（0，0），求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功．

Answer 1

如右图所示：
设点M（x，y）是曲线y=√(2x−x2)在上半圆周上的一点，A的坐标为（0，1），
则：

MA

＝(−x，1−y)，

F

＝(k)/(r3)(−x，1−y)，其中r＝√(x2+(1−y)2)，
∴W＝∫L

F

•d

r

＝∫L(k)/(r3)[−xdx+(1−y)dy]
=∫L(−kx)/([x2+(1−y)2](3)/(2))dx+(k(1−y))/([x2+(1−y)2](3)/(2))dy，①，
其中L为曲线y=√(2x−x2)自B（2，0）运动到O（0，0），
∴P(x，y)＝(−kx)/([x2+(1−y)2](3)/(2))，Q(x，y)＝(1−y)/([x2+(1−y)2](3)/(2))，
∴(∂P)/(∂y)＝(∂Q)/(∂x)＝(3kx(1−y))/(r5)，且P和Q在上半圆周所围成的区域具有一阶连续偏导，
∴①式的第二类曲线积分与积分路径无关，
∴W＝∫B0(−kx)/([x2+(1−y)2](3)/(2))dx+(k(1−y))/([x2+(1−y)2](3)/(2))dy
在BO上，y=0，所以有：
W＝−∫BO(kx)/((x2+1)(3)/(2))dx=(k)/(2)

∫

2 0

(x2+1)−(3)/(2)d(x2+1)＝(k)/(2)•(−2)(x2+1)−(1)/(2)

|

2 0

=k(1−(1)/(√(5)))．