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已知抛物线y=a(x-1)2-3(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,-2),顶点为B.(1)试确定a的值,并写出B点的坐标;(2)若一次函数的图象经过A、B两点,试写出一次函数的解析式;(3)试在x轴
题目详情
已知抛物线y=a(x-1)2-3(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,-2),顶点为B.
(1)试确定a的值,并写出B点的坐标;
(2)若一次函数的图象经过A、B两点,试写出一次函数的解析式;
(3)试在x轴上求一点P,使得△PAB的周长取最小值;
(4)若将抛物线平移m(m≠0)个单位,所得新抛物线的顶点记作C,与原抛物线的交点记作D,问:点O、C、D能否在同一条直线上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
(1)试确定a的值,并写出B点的坐标;
(2)若一次函数的图象经过A、B两点,试写出一次函数的解析式;
(3)试在x轴上求一点P,使得△PAB的周长取最小值;
(4)若将抛物线平移m(m≠0)个单位,所得新抛物线的顶点记作C,与原抛物线的交点记作D,问:点O、C、D能否在同一条直线上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)把A(0,-2)代入y=a(x-1)2-3得-2=a(0-1)2-3,解得:a=1,
∵顶点为B,
∴B(1,-3);
(2)设一次函数的解析式为y=kx+b
将A、B两点的坐标代入解析式求得:
,
∴k=-1,b=-2,
∴写出一次函数的解析式为y=-x-2,;
(3)A点关于x轴的对称点记作E,则E(0,2),
如图1,连接EB交x轴于点P,则P点即为所求,
理由:在△PAB中,AB为定值,
只需PA+PB取最小值即可,
而PA=PE,从而只需PE+PB取最小值即可,
∵两点之间线段最短,
∴PE+PB≤EB,
∴E、P、B三点在同一条直线上时,取得最小值.
由于过E、B点的一次函数解析式为y=-5x+2,
当y=0时,x=
,
∴P(
,0);
(4)如图2,设抛物线向右平移m(若m>0表示向右平移,若m<0表示向左平移)个单位,
则所得新的抛物线的顶点C(1+m,-3),
∴新抛物线解析式为 y=(x-1-m)2-3
解
得
,
∴两抛物线的交点D(1+
,
-3),
∴经过O、C的一次函数解析式是y=-
x,若 O、C、D在同一直线上,
则 有
-3=-
(1+
),
化简整理得m3+m2-6m=0,
∵m≠0,
∴m2+m-6=0,解得:m=2或m=-3,
∴O、C、D三点能够在同一直线上,
此时m=2或m=-3.
即抛物线向右平移2个单位,或者向左平移3个单位,均满足题目要求.
∵顶点为B,
∴B(1,-3);
(2)设一次函数的解析式为y=kx+b
将A、B两点的坐标代入解析式求得:
|
∴k=-1,b=-2,
∴写出一次函数的解析式为y=-x-2,;
(3)A点关于x轴的对称点记作E,则E(0,2),
如图1,连接EB交x轴于点P,则P点即为所求,
理由:在△PAB中,AB为定值,
只需PA+PB取最小值即可,
而PA=PE,从而只需PE+PB取最小值即可,
∵两点之间线段最短,
∴PE+PB≤EB,
∴E、P、B三点在同一条直线上时,取得最小值.
由于过E、B点的一次函数解析式为y=-5x+2,
当y=0时,x=
2 |
5 |
∴P(
2 |
5 |
(4)如图2,设抛物线向右平移m(若m>0表示向右平移,若m<0表示向左平移)个单位,
则所得新的抛物线的顶点C(1+m,-3),
∴新抛物线解析式为 y=(x-1-m)2-3
解
|
|
∴两抛物线的交点D(1+
m |
2 |
m2 |
4 |
∴经过O、C的一次函数解析式是y=-
3 |
1+m |
则 有
m2 |
4 |
3 |
1+m |
m |
2 |
化简整理得m3+m2-6m=0,
∵m≠0,
∴m2+m-6=0,解得:m=2或m=-3,
∴O、C、D三点能够在同一直线上,
此时m=2或m=-3.
即抛物线向右平移2个单位,或者向左平移3个单位,均满足题目要求.
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