（2008•天河区一模）已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．（1）若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似．求AF：AD的值；（2）若在矩形ABCD内不重叠地放两个长是宽的3倍的

Question

（2008•天河区一模）已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．
（1）若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似．求AF：AD的值；
（2）若在矩形ABCD内不重叠地放两个长是宽的3倍的小长方形，且每个小长方形的每条边与矩形ABCD的边平行，求这两个小长方形周长和的最大值．

Answer 1

（1）设AF=x，
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，AD=3，AB=1，
∴(AB)/(AD)=(AF)/(CD)，即(1)/(3)=(x)/(1)，解得x=(1)/(3)，
∴AF：AD=(1)/(3)：3=1：9；

（2）两个小矩形的放置情况有如下几种：
①两个小矩形都“竖放”，如图（一），在这种放法下，周长和最大的两个小矩形，边长分别为1和 (1)/(3)，
故此时周长和的最大值为 (16)/(3)．

②两个小矩形都“横放”，如图（二）及图（三）所示，这时两个小矩形的周长和的最大值是
2（a+3a）+2[1-a+3（1-a）]=8．

③两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，如图（四），这时两个小矩形的周长和为
2（a+3a）+2（3-a+(3−a)/(3)）=8+(16a)/(3)，

因为0＜3a≤1，即0＜a≤(1)/(3)，故当a=(1)/(3)时，此时两个小矩形的周长和最大为 (88)/(9)，
综上三种情形，知所求的最大值为 (88)/(9)．
故答案为：(88)/(9)．