（2014•河西区模拟）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，

Question

（2014•河西区模拟）已知抛物线y=x²+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S_△ABM=3，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x²+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）依题意，−(b)/(2×1)＝1，
解得b=-2．
将b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x²+bx+c得6=3²-2×3+c．
解得 c=3．
所以抛物线的解析式为y=x²-2x+3．

（2）∵抛物线y=x²-2x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3）．
∵B（3，6），
可得直线AB的解析式为y=x+3．
设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x²-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3）．（如图1）
∴S△ABM＝S△AMN+S△BMN＝(1)/(2)MN•|xB−xA|＝3．
∴(1)/(2)[x+3−(x2−2x+3)]×3＝3．
解得 x₁=1，x₂=2．
故点M的坐标为（1，2）或 （2，3）．

（3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得PD＝(c)/(2)．
∵抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为 P(−(b)/(2)，(4c−b2)/(4))，
∴(4c−b2)/(4)＝(c)/(2)．
∴b²=2c．
∴抛物线y＝x2+bx+(1)/(2)b2，A（0，(1)/(2)b2），P（−(1)/(2)b，(1)/(4)b2），D（−(1)/(2)b，0）．
可得直线OP的解析式为y＝−(1)/(2)bx．
∵点B是抛物线y＝x2+bx+(1)/(2)b2与直线y＝−(1)/(2)bx的图象的交点，
令 −(1)/(2)bx＝x2+bx+(1)/(2)b2．
解得x1＝−b，x2＝−(b)/(2)．
可得点B的坐标为（-b，

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