（2011•白云区一模）已知关于x的二次函数y=x2+（2k-1）x+k2-1．（1）若关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2-1=0的两根的平方和等于9，求k的值，并在直角坐标系（如图）中画出函数y=x2+（2k-1）x+k2

Question

（2011•白云区一模）已知关于x的二次函数y=x²+（2k-1）x+k²-1．
（1）若关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²-1=0的两根的平方和等于9，求k的值，并在直角坐标系（如图）中画出函数y=x²+（2k-1）x+k²-1的大致图象；
（2）在（1）的条件下，设这个二次函数的图象与x轴从左至右交于A、B两点．问函数对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角△AMB的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）、（2）条件下，若P点是二次函图象上的点，且∠PAM=90°，求△APM的面积．

Answer 1

（1）∵所给一元二次方程有解，
∴根的判别式△≥0，
即（2k-1）²-4（k²-1）≥0，
解得k≤(5)/(4)；
设方程的两个根分别为x₁、x₂，
则x₁²+x₂²=9，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，
又x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²-1，
分别代入上式，
解得k₁=-1或k₂=3，
∵k≤(5)/(4)，
∴k=-1．
代入函数式中，得y=x²-3x，
配方可得y=(x−(3)/(2))2−(9)/(4)，
即抛物线的对称轴为x=(3)/(2)，顶点坐标为D（(3)/(2)，-(9)/(4)），
大致图象如下（如图）；

（2）由（1），令y=0，得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∴A（0，0），B（3，0）．
这样的点存在．
其坐标为M（2，-2）．
设M（x_m，y_m），而△AMB是锐角三角形，
故(3)/(2)＜x_m＜3，
∴y_m＜0．故有S_△AMB=(1)/(2)•|AB|•|ym|=(1)/(2)•3•|ym|=3，
∴|y_m|=2，y_m=±2，舍去正值，
∴y_m=-2，
当y_m=-2时，x_m²-3x_m=-2，
解得x_m=1或x_m=2，
∵(3)/(2)＜x_m＜3，
∴x_m=1舍去，而(3)/(2)＜2＜3，
∴x_m=2满足条件，
∴这样的点存在，其坐标为M（2，-2）；

（3）∵M（2，-2），
∴∠MAB=45°，
∴∠BAP=45°，
∴AP所在直线的解析式为：y=x，
∵P也在抛物线上，
∴x²-3x=x，
解得：x₁=0（舍去），x₂=4，
此时y=4，
∴P（4，4），可求得线段AP长=4√(2)，线段AM长=2√(2)，
∴S_△AMP=(1)/(2)•2

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