在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点C随着在正y轴上运动．（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；（2）当OA=OC

Question

在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点C随着在正y轴上运动．
（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？

Answer 1

（1）当A点在坐标原点时，如图，

AC在y轴上，BC⊥y轴，
所以OB＝√(AC2+BC2)＝√(5)．
目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的基本应用与计算．

（2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．
所以∠1=∠2=45°，OA＝OC＝√(2)．
过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，
则∠3=90°-∠ACD=90°-（90°-45°）=45°．又BC=1，
所以CD＝BD＝(√(2))/(2)，BE＝BD+DE＝BD+OC＝(3√(2))/(2)，
因此OB＝√(((√(2))/(2))2+((3√(2))/(2))2)＝√(5)．

（3）解法一：如图所示，设∠ACO=θ，过C作CD⊥OC，

由于∠BCA=90°，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B点的坐标
为B（cosθ，sinθ+2cosθ）．则l²=OB²=cos²θ+（sinθ+2cosθ）²=cos²θ+sin²θ+4sinθcosθ+4cos²θ=1+2sin2θ+4cos²θ=3+2sin2θ+2（2cos²θ-1）=3+2sin2θ+2cos2θ=3+2√(2)[(√(2))/(2)sin2θ+(√(2))/(2)cos2θ]=3+2√(2)sin(2θ+(π)/(4))
当θ＝(π)/(8)时，l2max＝3+2√(2)＝(1+√(2))2，所以lmax＝1+√(2)．
解法二：如图，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，所以OE＝(1)/(2)AC＝1．

在△ACB中，BC=1，CE＝(1)/(2)AC＝1，∠BCE＝90°，
所以BE＝√(2)．
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+EB＝1+√(2)，
若点O，E，B在一条直线上，
则OB＝OE+EB＝1+√(2)，
所以当点O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值，
最大值是1+√(2)．
当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时，
从下图可见，OE=1，EB＝√(2)．∠CEB=45°，但CE=OE=1，
∠ECO＝∠COE＝(∠CEB)/(2)＝(45°)/(2)＝22.5°．