求∫ds,其中L为圆周x2+y2=4.解释下ds表示什么L

Question

求∫ds,其中L为圆周x2+y2=4.解释下ds表示什么 L

Answer 1

求∫ds,其中L为圆周x²+y²=4
解(一)：ds是弧长的微分；ds=√(dx²+dy²)=√[1+(dy/dx)²]dx=[√(1+y′²)]dx
将x²+y²=4对x取导数得：2x+2yy′=0,故y′=-x/y.
∴[L]∫ds=[-2,]2∫√(1+x²/y²)dx=[-2,2]2∫√[(x²+y²)/y²]dx=[-2,2]2∫√[4/(4-x²)]dx
=[-2,2]4∫√{1/[1-(x/2)²]}d(x/2)=4arcsin(x/2)︱[-2,2]=4(π/2+π/2)=4π
解(二):把园的方程写成参数形式求解可能更方便一些.
x=2cost,y=2sint,dx=-2sintdt,dy =2costdt；0≦t≦2π.
[L]∫ds=[0,2π]∫[√(4sin²t+4cos²t)]dt=2t︱[0,2π]=4π
4π就是半径为2的园的周长.