在L上对(xdy-ydx)/(x^2+y^2)进行积分,L为圆周x^2+y^2=1按逆时针方向转一周.此问题用坐标曲线积分法为2派,用格林公式却为零.不知道格林公式方法怎么错了,

Question

在L上对(xdy-ydx)/(x^2+y^2)进行积分,L为圆周x^2+y^2=1按逆时针方向转一周.此问题用坐标曲线积分法为2派,用格林公式却为零.不知道格林公式方法怎么错了,

Answer 1

此题不能简单的用Green公式,Green公式有三个条件：一是封闭曲线,二是曲线与区域满足方向关系,即人在边界正向前进时,左手边是积分区域,此题都满足.
三是P＝－y/(x^2+y^2),Q＝x/(x^2+y^2)在D:x^2+y^20,令S为圆周x^2+y^2=e^2,方向为逆时针方向,
原积分＝积分_(L并S的顺时针)Pdx+Qdy－积分_(S的顺时针)Pdx+Qdy
前者可以用Green公式,积分为0,后者
＝积分_(S的逆时针)(xdy－ydx)/(x^2+y^2)
＝积分_(S的逆时针)(xdy－ydx)/e^2 此时又可以用Green公式
＝2pi*e^2/e^2
=2pi.