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如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.(1)求这个抛物线的解析式;(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取
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如图,一次函数 分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x 2 +bx+c过A、B两点. (1)求这个抛物线的解析式; (2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标. |
▼优质解答
答案和解析
(1)y=﹣x 2 + x+2(2)当t=2时,MN有最大值4(3)D点坐标为(0,6),(0,﹣2)或(4,4) |
(1)∵ 分别交y轴、x轴于A、B两点, ∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0)。 将x=0,y=2代入y=﹣x 2 +bx+c得c=2; 将x=4,y=0代入y=﹣x 2 +bx+c得0=﹣16+4b+2,解得b= 。 ∴抛物线解析式为:y=﹣x 2 + x+2。 (2)如图1, 设MN交x轴于点E,则E(t,0),BE=4﹣t。 ∵ , ∴ME=BE•tan∠ABO=(4﹣t)× =2﹣ t。 又∵N点在抛物线上,且x N =t,∴y N =﹣t 2 + t+2。 ∴ 。 ∴当t=2时,MN有最大值4。 (3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5). 如图2, 以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形。 (i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a), 由AD=MN,得|a﹣2|=4,解得a 1 =6,a 2 =﹣2, 从而D为(0,6)或D(0,﹣2)。 (ii)当D不在y轴上时,由图可知D为D 1 N与D 2 M的交点, 由D 1 (0,6),N(2,5)易得D 1 N的方程为y= x+6; 由D 2 (0,﹣2),M(2,1)D 2 M的方程为y= x﹣2。 由两方程联立解得D为(4,4)。 综上所述,所求的D点坐标为(0,6),(0,﹣2)或(4,4)。 (1)首先求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式。 (2)求得线段MN的表达式,这个表达式是关于t的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN的最大值。 (3)明确D点的可能位置有三种情形,如图2所示,不要遗漏.其中D 1 、D 2 在y轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D 3 点在第一象限,是直线D 1 N和D 2 M的交点,利用直线解析式求得交点坐标。 |
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