设a，b∈R，关于x的方程（x2-ax+1）（x2-bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[13，2]，则ab的取值范围为[4，1129][4，1129]．

Question

设a，b∈R，关于x的方程（x²-ax+1）（x²-bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[(1)/(3)，2]，则ab的取值范围为

[4，(112)/(9)]

[4，(112)/(9)]

．

Answer 1

设方程（x²-ax+1）（x²-bx+1）=0的4个实数根依次为m，mq，mq²，mq³，
由等比数列性质，不妨设m，mq³为x²-ax+1=0的两个实数根，则mq，mq²为方程x²-bx+1=0的两个根，
由韦达定理得，m²q³=1，m+mq³=a，mq+mq²=b，则m2＝(1)/(q3)
故ab=（m+mq³）（mq+mq²）=m²（1+q³）（q+q²）
=(1)/(q3)（1+q³）（q+q²）=q+(1)/(q)+q2+(1)/(q2)，
设t=q+(1)/(q)，则q2+(1)/(q2)=t²-2，
因为q∈[(1)/(3)，2]，且t=q+(1)/(q)在[(1)/(3)，1]上递减，在（1，2]上递增，
所以t∈[2，(10)/(3)]，
则ab=t²+t-2=(t+(1)/(2))2−(9)/(4)，
所以当t=2时，ab取到最小值是4，
当t=(10)/(3)时，ab取到最小值是(112)/(9)，
所以ab的取值范围是：[4，(112)/(9)]．