正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．（1）如图1，当AD=2OF时，求出x的值；（2）如图2，把线段CE

Question

正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．

（1）如图1，当AD=2OF时，求出x的值；
（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90°，使点C落在点P处，连接AP，设△APE的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值．

Answer 1

（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，
∵OA=OC，
∴CM=ME，
∴AE=2OM=2OF，
∴OM=OF，
∴(OM)/(BE)=(OF)/(BF)，
∴BF=BE=x，
∴OF=OM=(1-x)/(2)，
∵AB=1，
∴OB=(√(2))/(2)，
∴x+(1-x)/(2)=(√(2))/(2)，
∴x=√(2)-1；

（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，
∵∠CEP=∠EBC=90°，
∴∠ECB=∠PEG，
∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90°，
在△EPG与△CEB中，

∠CBE=∠PGE

∠CEB=∠PEG

PE=EC

，
∴△EPG≌△CEB，
∴EB=PG=x，
∴AE=1-x，
∴S=(1)/(2)（1-x）•x=-(1)/(2)x²+(1)/(2)x=-(1)/(2)（x-(1)/(2)）²+(1)/(8)，（0<x<1），
∵-(1)/(2)<0，
∴当x=(1)/(2)时，S的值最大，最大值为(1)/(8)，．