已知抛物线C1：y=2ax2-bx-1经过（1，-2）和（3，2）两点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1沿直线y=-1翻折，再将翻折后的抛物线，先向上平移2个单位，再向右平移m个单位，得到抛物

Question

已知抛物线C₁：y=2ax²-bx-1经过（1，-2）和（3，2）两点．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）将抛物线C₁沿直线y=-1翻折，再将翻折后的抛物线，先向上平移2个单位，再向右平移m个单位，得到抛物线C₂．若C₂的顶点B在抛物线C₁上，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线C₁的顶点为A，E为抛物线C₁上的一点，F为抛物线C₂上的一点，则以A，B，E，F为顶点的平行四边形是否存在？若存在，有多少个？说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线C₁：y=2ax²-bx-1经过（1，-2）和（3，2）两点，
∴

2a−b−1＝−2

18a−3b−1＝2

．
解得：

a＝(1)/(2)

b＝2

．
∴抛物线C₁的解析式为y=x²-2x-1．

（2）∵抛物线C₁的解析式为y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴顶点坐标为（1，-2）．
∵点（1，-2）关于直线y=-1对称点的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（1+m，2）．
∵B在抛物线C₁上，
∴（1+m-1）²-2=2．
解得：m₁=2，m₂=-2（舍去）．
∴m的值为2．

（3）以A，B，E，F为顶点的平行四边形存在．
由题可知：A（1，-2）、B（3，2），抛物线C₂的解析式为y=-（x-3）²+2．
则线段AB的中点C的坐标为（(1+3)/(2)，(−2+2)/(2)），即（2，0）．
当x=1时，y=-（1-3）²+2=-2，所以点A（1，-2）在抛物线C₂上．
所以抛物线C₁与抛物线C₂关于点C成中心对称．
在抛物线C₁上任取一点E（A、B除外），连接EC并延长交抛物线C₂于点F，
连接AE、EF、BF、BE，如图所示，必有EC=FC．
∵EC=FC，AC=BC，
∴四边形EAFB是平行四边形．
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形有无数个．