已知S1=1+1/1²+1/2²S2=1+1/2²+1/3²S3=1+1/3²+1/4²Sn=1+1/n²+1/（n+1）²S=√S1+√S2+√S3+~+√Sn求S的表达式

Question

已知 S1=1+1/1²+1/2²
S2=1+1/2²+1/3²
S3=1+1/3²+1/4²
Sn=1+1/n²+1/（n+1）²
S=√S1+√S2+√S3+~+√Sn
求S的表达式

Answer 1

s1=9/4 √s1=3/2=1+1/2
s2=49/36 √s2=7/6=1+1/6
s3=169/144 √s3=13/12=1+1/12
通过观察发现√sn=1+1/（n*(n+1)）
S=√S1+√S2+√S3+~+√Sn=n+1/2+1/6+……1/（n*(n+1)）=n+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4……+1/n-1/(n+1)
=n+1-1/(n+1)