如图，半径为1圆心角为3π2圆弧AB上有一点C．（1）当C为圆弧AB中点时，D为线段OA上任一点，求|OC+OD|的最小值．（2）当C在圆弧AB上运动时，D、E分别为线段OA、OB的中点，求CE•DE的取值范围．

Question

如图，半径为1圆心角为(3π)/(2)圆弧

AB

上有一点C．
（1）当C为圆弧 

AB

中点时，D为线段OA上任一点，求|

OC

+

OD

|的最小值．
（2）当C在圆弧

AB

上运动时，D、E分别为线段OA、OB的中点，求

CE

•

DE

的取值范围．

Answer 1

（1）以O为原点，以

OA

为x轴正方向，建立图示坐标系，
设D（t，0）（0≤t≤1），C（−(√(2))/(2)，(√(2))/(2)）…2′
∴

OC

+

OD

=（−(√(2))/(2)+t，(√(2))/(2)）
∴|

OC

+

OD

|2=(1)/(2)−√(2)t+t2+(1)/(2)=1−√(2)t+t2（0≤t≤1）…4′
当t＝(√(2))/(2)时，最小值为(√(2))/(2)…6′
（2）设

OC

=（cosα，sinα）（0≤α≤(3)/(2)π）

CE

＝

OE

−

OC

=（0，−(1)/(2)）-（cosα，sinα）
=（−cosα，−(1)/(2)−sinα）…8′
又∵D（(1)/(2)，0），E（0，−(1)/(2)）
∴

DE

=（−(1)/(2)，−(1)/(2)）…10′
∴

CE

•

DE

=(1)/(2)(cosα+(1)/(2)+sinα)=(√(2))/(2)sin(α+(π)/(4)) +(1)/(4)…12′
∵(π)/(4)≤α+(π)/(4)≤(7π)/(4)…13′
∴

CE

•

DE

∈[(1)/(4)−(√(2))/(2)，(1)/(4)+(√(2))/(2)]…14′