观察按下列规则排列成的一列数：1／1,1／2,2／1,1／3,2／2,3／1,1／4,2／3,3／2,4／1,1／5,2／4,3／3,4／2,5／1,1／6……〈1〉在这个数列中,从左起第m个数记为f(m),当f(m)=2／2001时,求m的值和这m个数的

Question

观察按下列规则排列成的一列数：
1／1,1／2,2／1,1／3,2／2,3／1,1／4,2／3,3／2,4／1,1／5,2／4,3／3,4／2,5／1,1／6……
〈1〉在这个数列中,从左起第m个数记为f(m),当f(m)=2／2001时,求m的值和这m个数的积.
〈2〉在这列数中,未经约分且分母为2的数记为c,它后面的一个数记为d,是否存在这样两个数c和d,使得cd=2001000?如果存在,求出c和d；如果不存在,请说明理由.

Answer 1

对于每个分子分母和t,都有t-1个对应的分数,即1个分子分母和为2的数,2个分子分母和为3的数.一直到2001（2+2001=2003,之前的和一直到2002,有2001个数）,总共有2001×2002÷2=2003001个数,再加上2,m=2003003.而对于所有以t为分母的数,显然乘积为1.因而这m个数的乘积就是2/2001×1/2002=1/2003001
设c=x/2,则d=x+1 cd=2001000=x（x+1）/2,恰好是连续若干自然数的和,x=2000刚好满足.故而c=1000/2,d=1001/1