17、一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单(1)前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？(2)3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排

Question

17、一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单
(1)前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？
(2)3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？
(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？____

Answer 1

【分析】(1)先不考虑限制条件，8个节目全排列有A₈⁸种方法，前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A₅⁴A₄⁴，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．
(2)要把3个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列．
(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列．

解(1)∵8个节目全排列有A₈⁸=40320种方法，
若前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A₅⁴A₄⁴，
∴前4个节目中要有舞蹈有A₈⁸-A₅⁴A₄⁴=37400，．
(2)∵3个舞蹈节目要排在一起，
∴可以把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，
三个舞蹈节目本身也有一个排列有A₆⁶A₃³=4320，
(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，
可以用插空法来解，
先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列，
有A₅⁵A₆³=14400．

【点评】本题是一个排列组合典型，文科在高考时能考到，理科近几年单独考查排列组合的题目都是以选择和填空出现，实际上所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题．