用数学归纳法证明3^4n+2+5^2n+1(n属於N*)能被14整除

Question

用数学归纳法证明
3^4n+2+5^2n+1(n属於N*)能被14整除

Answer 1

用数学归纳法证明：3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹(n属於N*)能被14整除
证明：当n=1时,3⁶+5³=729+125=854=14×61,即能被14整除；
设n=k时3^(4k+2)+5^(2k+1)=14P(P为正整数),即能被14整除；那么当n=k+1时：
3^[4(k+1)+2]+5^[2(k+1)+1]=3^[(4k+2)+4]+5^[(2k+1)+2]=81×3^(4k+2)+25×5^(2k+1)
=81×3^(4k+2)+25[14p-3^(4k+2)]=56×3^(4k+2)+25×14p
=14×4×3^(4k+2)+25×14p=14[4×3^(4k+2)+25p]=14×q
其中q=14×3^(4k+2)+25p是正整数.故原命题成立.