大一下期高数证明题证在曲面XYZ=a^3上任意一点的切平面与坐标平面所围成的4面体的体积为定值

Question

大一下期高数证明题
证在曲面XYZ=a^3上任意一点的切平面与坐标平面所围成的4面体的体积为定值

Answer 1

对于平面F(x,y,z)=xyz-a^3=0 ,
Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以平面的法向量为n=(Fx,Fy,Fz)=(yz,xz,xy)
对于平面上任意一点（x0,y0,z0）,其切平面方程为：
y0z0(x-x0)+x0z0(y-y0)+x0y0(z-z0)=0
即：y0z0x+x0z0y+x0y0z=3x0y0z0
x/x0+y/y0+z/z0=3
所以该平面在三个坐标轴上的截距分别为 3x0,3y0,3z0
所围成四面体的体积为
V=(3x0)*(3y0)*(3z0)/6
=9x0y0z0/2 (x0y0z0=a^3)
=9(a^3)/2 为定值,证毕