1.(杨辉《续古摘奇算法》)十数余三,七十二数余二,十三数余一,问本数?x=1029k+17302.(清朝嘉庆皇帝买牛问题)有人花一百两银子买了100头牛,大牛每头值10两,小牛每头值5两,牛犊每头值半两.试问此

Question

1.(杨辉《续古摘奇算法》)十数余三,七十二数余二,十三数余一,问本数?
x=1029k+1730
2.(清朝嘉庆皇帝买牛问题)有人花一百两银子买了100头牛,大牛每头值10两,小牛每头值5两,牛犊每头值半两.试问此人买了大牛、小牛、与牛犊个多少头?
1 9 90
3.今有散钱不知数,作七十七陌穿之,欠五十凑穿,若作七十八陌穿之,不多不少,问钱数若干
2106
3.

Answer 1

第1题.题目有问题.“十数余三”,说明此数是奇数；“七十二数余二”,说明此数是偶数,岂不是自相矛盾?经过研究认为原题应为：十一数余三,七十二数余二,十三数余一,问本数?答案：x=10296k+1730
解答过程：设x=11a+3=72b+2=13c+1
则 11a+1=72b=13c-1
22a+2=144b=26c-2
于是有,22a-143b=b-2 和 26c-143b=b+2
即 11*(2a-13b)=b-2 和 13*(2c-13b)=b+2
可见 b-2能被11整除,b+2能被13整除.
不妨令 b-2=11d , b+2=13e
从而 11d+4=13e
易求得满足要求的最小正整数解为：d=e=2
从而 b=11d+2=24
x=72b+2=72*24+2=1730
由于11,72,13互质,其最小公倍数为11×72×13＝10296
所以10296k+1730仍满足题目要求.(k=0,1,2.)
第2题.基本上同意一楼的解法.但他对“X只能是1”阐释得不太清楚,补充如下.
把19X+9y=100化为：
Y=(100-19X)/9=(11*9+1-18X-X)/9=11-2X-(1-X)/9
Y是整数,所以(1-X)/9也必为整数,
显然0≤X≤5(若为6,则19×6>100),因此只有X＝1才能满足(1-X)/9是整数.
从而 Y＝11－2×1－(1-1)/9=9,Z＝100-X-Y=90
第3题.
设x=77a-50=78b
则 a=(78b+50)/77=(77b+b+50)/77=b+(b+50)/77
显然满足(b+50)/77是整数的最小b=27
从而x=78b=78*27=2106
同样 77,78的最小公倍数是77×78＝6006
所以 6006k+2106仍满足要求.（k=0,1,2.)