关于卓里奇数学分析第二章的一道题2.试证:a)覆盖一个闭区间的闭区间族不必包含此闭区间的有限子覆盖b)覆盖一个开区间的开区间族不必包含此开区间的有限子覆盖c)覆盖开区间的闭区间族

Question

关于卓里奇数学分析第二章的一道题
2.试证:
a)覆盖一个闭区间的闭区间族不必包含此闭区间的有限子覆盖
b)覆盖一个开区间的开区间族不必包含此开区间的有限子覆盖
c)覆盖开区间的闭区间族也不必包含此开区间的有限子覆盖
3.试证,如果将所有实数之集R代之以有理数集Q,把闭区间、开区间与点r属于Q之邻域理解成Q的相应子集,那么,上面所证明的三个基本引理的任一个不再成立
求教第三题应该怎么理解,所有开区间(a,b)和闭区间[a,b]都理解成
(a,b)中所有的有理数即(a,b)交Q和[a,b]交Q
是这个意思吗?

Answer 1

这里区间的意思确实不太明确,你可以按照你说的方式去理解
另一种不等价的理解方式是只承认端点也是有理数的有理数区间,当然对这题而言这个区别影响不大
这道题更大的问题在于“上面所证明的三个基本引理的任一个不再成立”,其实他的本意是说上面证明的三个引理仍然都成立,或者说都能找出相应的例子
总体来说卓里奇写书并不谨慎,书里的逻辑错误不少,所以如果是初学的话我建议不要把这本书作为唯一的教材,当成参考书学习一下里面的思想还可以