高等数学题一道f(x)g(x)在[a,b]上可导,且f'(x)g(x)不等于f(x)g'(x).证明：介于f(x)两个零点x1、x2之间有g(x)的一个零点.其中x1、x2均在（a,b）内.

Question

高等数学题一道
f(x) g(x)在[a,b]上可导,且f'(x)g(x)不等于f(x)g'(x).证明：介于f(x)两个零点x1、x2之间有g(x)的一个零点.其中x1、x2均在（a,b）内.

Answer 1

【证】反证法：假设在介于f(x)两个零点x1、x2之间没有g(x)的一个零点
令F(x)=f(x)/g(x),则显然在[x1,x2]内g(x)不等于0.且有：
1）在闭区间[x1,x2]上连续；
2)在开区间(x1,x2)内导;
3)F(x1)=F(x2)=0
由罗尔定理可知,在区间(x1,x2)内至少存在一点ξ(x1