1的任何数次方都是1吗?怎么证明啊?

Question

1的任何数次方都是1吗?怎么证明啊?

Answer 1

任意次范围应该是实数范围所以不能简单用代数归纳法.
先证明正有理数.
表达式是 1^(n/m)=(1^n)^(1/m) (n,m都是正整数)
用两次代数归纳法
先证明1^n是1
这个很容易,因为后面长,这个就不写了
然后证明1^(1/m)是1
这个有些难度m=1时自然是1
m=2时1的根号也毫无疑问是1
假设m=k (k属于正整数)时1^(1/k)=1 (1)
假设m=k+1 (k属于正整数)时1^(1/(k+1))=1 (2)
求证 1^(1/(k+2)) (3) 等于1
显然 (1)/(3)=(2)/(3)
(1)/(3)=1^(1/k-1/(k+2)) (4)
(2)/(3)=1^(1/(k+1)-1/(k+2)) (5)
要这两个式4式5相等,两种可能1个就是
1/k-1/(k+2)=1/(k+1)-1/(k+2)
2/（k^2+2k）= 1/(k^2+3k+2)
2k^2+6k+4=k^2+2k
k^2+4k+4=0
(k+2)^2=0
k=-2
显然和上面关于k的假设矛盾,1是不可能的
另一可能就是这两个式子恒等于某个数
因为式1式2相等
所以代表 式3恒等于某个数
随便取k=1（2,3,4,5哪个都行)时候式3等于1,所以式3就等于1
所以得出 1^(1/m)=1
结合上面得出正有理数情况下恒等于1
还有负有理数的情况,只要证明正的是1,负的1/1自然也是1
1^0=1 所以任意次有理数都是1
无理数的情况 设表达式就是1^(x1^x2^x3...^xn) (x1,x2,x3...xn属于有理数,n属于正整数)
因为任何无理数都可以表达成一个有理数的无限有理数次方
1^(x1^x2^x3...^xn)=(((1^x1)^x2)^x3...)^xn
1^x1=1 (x1属于有理数)
根据上面有理数的结论使用数学归纳法很容易证明
1^(x1^x2^x3...^xn)=1
综合以上1的任意实数次方都是1
如果要包含虚数次方
首先说一下其计算
e^(a+bi)=(e^a)(cosb+sina*i)
而任意x^y=e^(ylnx) (这个都知道)
所以任意x^y=e^((a+bi)(lnx))=e^(alnx+blnx*i)=
(e^(alnx))(cos(blnx)+sin(alnx)*i)
如果x=1则是
(e^(aln1))(cos(bln1)+sin(aln1)*i)
=(e^0)(cos0+sin0*i)
=1*(1+0*i)=1
最终因此1的任意次方都是1
郁闷做到这里才知道,其实只要一个虚数的证明就行了
实数时x^y=e^(ylnx)
当x=1 自然x^y=e^(yln1)=e^0=1.好歹上面那堆也是种方法把!