某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○若将上面一组圆依此规律连续复制得到一系列圆,那么前17个圆中,有个空心圆,前3

Question

某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○
若将上面一组圆依此规律连续复制得到一系列圆,那么前17个圆中,有【 】个空心圆,前32个圆中,有【 】个实心圆,前2012个圆中,有【 】个空心圆

Answer 1

我们可以以空心圆为参照
先讨论某个空心圆前的实心圆总个数.
不难发现第1个空心圆前有1个实心圆,第1个空心圆和第2个空心圆间有2个实心圆,第2个空心圆和第3个空心圆间有3个实心圆······总结可知第n-1个空心圆和第n个空心圆间有n个实心圆（n≥1）.
假设第n个空心圆前一共有Qn个实心圆,这些实心圆被空心圆分割成n各部分,各部分个数依次是1、2、3、···、n,这是一个等差数列,可知：
Qn = 1+2+3+···+n = n(n+1)/2
再讨论到第n个空心圆为止圆的总个数.
假设到第n个空心圆为止一共有Sn个圆,很显然这些圆是由Qn个实心圆和n个空心圆组成,那么
Sn = Qn + n
= n(n+1)/2 + n
= n(n+3)/2
现在的问题是知道某个总圆数Tn（这里的Tn并不能严格满足上面的公式Sn = n(n+3)/2,因为Tn不一定能保证Tn = n(n+3)/2对应的n恰好是整数）,
要求解空心圆个数n和实心圆个数Qn‘（同样地,这里的Qn‘并不能严格满足上面的公式Qn = n(n+1)/2,因为Tn个圆中第n个空心圆后面可能还有实心圆）.
求解n：首先将Tn带入n(n+3)/2 = Tn,求解二元一次方程,可以计算得出n的值,这个值不一定是整数,但是我们肯定只取它的整数部分,这就是空心圆的个数n.
求解Qn’：很显然Tn个圆中只有n个空心圆,实心圆个数就是Qn’ = Tn-n.
1.令Tn = n(n+3)/2 = 17,解得4