∫∫(x^2+y^2)dzdx+(z-1)dxdy利用高斯公式怎么积分呀?轨迹：圆锥面是x^2+y^2=z^2(0

Question

∫∫(x^2+y^2)dzdx+(z-1)dxdy利用高斯公式怎么积分呀?
轨迹：圆锥面是x^2+y^2=z^2(0

Answer 1

积分曲面不封闭,补平面Σ1：z=1,x²+y²≤1上侧
两个曲面合起来为封闭曲面,用高斯公式
∫∫ (x²+y²)dzdx+(z-1)dxdy
= ∫∫∫ (2y+1)dxdydz 积分区域为那个圆锥体
由于该圆锥体关于xOz面对称,被积函数中的2y是奇函数,因此积分结果为0,得：
=∫∫∫ 1 dxdydz
被积函数为1,积分结果是区域的体积,该圆锥体积为：(1/3)π
=(1/3)π
下面从中减去所补平面的积分
∫∫(Σ1) (x²+y²)dzdx+(z-1)dxdy
=∫∫ -1 dxdy 积分区域为：x²+y²≤1
=-π
因此本题最终结果是：(1/3)π-(-π)=(4/3)π
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