好难的不等式啊对于任意正实数x,y,z均有不等式:x/√(y+z)+y/√(x+z)+z/√(x+y)>=k√(x+y+z)成立的最大常数k为(B)A2B3/2C3D2/3

Question

好难的不等式啊
对于任意正实数x,y,z均有不等式:
x/√(y+z)+y/√(x+z)+z/√(x+y)>=k√(x+y+z)
成立的最大常数k为( B )
A2 B3/2 C3 D2/3

Answer 1

x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y)>=k√(x+y+z).(1)
解 先猜测:在(1)中,取x=y=z=1,则可得k=√[3/2)(x+y+z)].(2)
事实上,由权方和不等式,得
x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y)
=x^(3/2)/√(xy+zx)+y^(3/2)/√(yz+xy)+z^(3/2)/√(zx+yz)
>=(x+y+z)^(3/2)√[2(xy+yz+zx)]
>=(x+y+z)^(3/2)√[(2/3)(x+y+z)^2]
=√[3/2)(x+y+z)],
所以,不等式(2)成立.
因此,k的最大值是√(3/2).