导数,关于y^2=2px的问题大神们帮帮忙抛物线y^2=2px上哪一点的法线被抛物线所截线段最短?这题怎么解?如果说是2yy'=2p,则斜率有正负,

Question

导数,关于y^2=2px的问题大神们帮帮忙
抛物线y^2=2px上哪一点的法线被抛物线所截线段最短?这题怎么解?如果说是2yy'=2p,则斜率有正负,

Answer 1

当p>0时 设抛物线上所截线段最短的点为：（y0*y0/2p,y0) 此点的切线斜率为：k=p/y0 则此点的法线斜率为：k'=-y0/p 由方程得到直线为：y-y0=-y0/p(x-y0^2/2p) 由于另外一点在抛物线上,所以,x=y^2/2p 带入上式 整理得到：（y-y0)[1+y0(y+y0)/2p]=0 解得,y=y0或者y=-y0-2p^2/y0 得到另外一点为：（（y0+2p^2/y0)^2/2p,-y0-2p^2/y0) 设两点之间距离的平方为：s^2=(2y0+2p^2/y0)^2+[（y0+2p^2/y0)^2/2p-y0^2/2p]^2 整理,s^2=4/y0^2*(p^2/y0^2+1)^3 在设t=y0^2,g(t)=s^2 所以有,g(t)=4t(p^2/t+1)^3 d对g(t)求导,g(t)'=0求取最小点 解得t=2p^2=y0^2 x0=p 即点为：（p,正负根号2*p） 当p<0,自解,方法相同 楼主分数拿来,花了我不少时间