代数余子式乘以不同行元素为什么等于零

Question

代数余子式乘以不同行元素为什么等于零

Answer 1

我们考察第 i 行的代数余子式,它和第 k 行的元素相乘,i ≠ k
回忆一下代数余子式的算法.
计算第 i 行任何一个元素的代数余子式时,都要把第 i 行的元素去掉,然后计算行列式.
所以,如果把第 i 行的元素变掉,而其它元素不变,那么第 i 行的代数余子式还是一样的.
我们把以前的矩阵叫 A.构造矩阵 B：
B 的第 i 行与 A 的第 k 行相同,其它元素与 A 的对应元素相同.
于是,根据代数余子式的算法,B 的第 i 行的代数余子式 = A 的第 i 行的代数余子式.
由于 B 的第 i 行与 A 的第 k 行相同,所以
(A 的第 i 行的代数余子式) 乘以 (A 的第 k 行元素)
= (B 的第 i 行的代数余子式) 乘以 (B 的第 i 行元素)
= 矩阵 B 的行列式.
而由于矩阵 B 的第 i 行元素与第 k 行元素相同,所以矩阵 B 的行列式为零.