求微积分方程的解,y'sinx=ylny

Question

求微积分方程的解,y'sinx=ylny

Answer 1

计算微分方程的关键主要在统一变量,步骤如下：
由原式推出：y`/y = lny / sinx
(lny)` = lny /sinx
(lny)`/lny = 1/sinx
(ln(lny))` = cscx
这样就可以写成 d(ln(lny)) = cscxdx
两端同时积分
得出通解 ln(lny) = ln|tan(x/2)| + C
因为y(x=pi/2)=e,得出C=0
所以得出特解ln(lny) = ln|tan(x/2)| 【其中可以带绝对值,可以不带,一般不带】
最后得出lny = tan(x/2)
y = e^(tan(x/2))