若素数p使得p平方+11恰有6个不同的约数则p=什么

Question

若素数p使得p平方+11恰有6个不同的约数
则p=什么

Answer 1

答案是p=2。
解答如下。
先说一下，a^b表示a的b次方。
反证法
思路如下，先构造一个有6个因数的数。
有6个因数，那么它的质因数表达形式为ab^2或者a^5（不清楚？请追问。）
而2^2×3=12就可以满足。
于是构造出12。
p^2+11
=p^2-1+12
=(p+1)(p-1)+12
注意到，因为p为质数，除非p=2，否则p一定为奇数，那么(p+1)与(p-1)均为偶数，
因而，(p+1)(p-1)一定是4的倍数；
离12的倍数就差3了。
另一方面，假若p≠3，那么p≡±1（mod 3）
此时无论如何都有(p+1)与(p-1)的其中一个除以3余2或-2，另一个整除。
也就是说，(p+1)(p-1)一定是3的倍数；
因而，(p+1)(p-1)一定是3、4的公倍数。
而3、4互质，那么(p+1)(p-1)一定是3×4=12的倍数。
也就是说，
p^2+11=(p+1)(p-1)+12
一定是12的倍数。
而12已经有6个因数了，假若p^2+11超过12，显然还含有本身作为因数，此时已经超过6个因数了，矛盾。
从而，必须考虑之前我们暂未考虑的两个质数：2、3
而
2^2+11=15，只有4个因数；
3^2+11=20，有6个因数。满足条件。
因而，p的唯一取值为p=3
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