求证存在无穷多个形如6m+5的质数

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求证存在无穷多个形如6m+5的质数

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答案和解析

因为除了质数3外,其余质数的形式都为6m+5或6m+1的形式.
6m+5又可表为6k-1的形式,
即大于3的质数为6k-1,6k+1的形式
假设6k-1形式的质数有限,记为p1,p2,...,pn
则令N=6p1p2...pn-1
若N为质数,则它显然是比pn更大的形如6k-1的质数,矛盾.
若N不为质数,则它必有形如6k-1的质因子,否则如果都是6k+1的质因子的话,积只能为6k+1形式.而显然p1,..pn都不是N的质因子,所以N只能有比pn更大的6k-1形式的质因子,矛盾.
因此原题得证.

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