在1，0交替出现，且以1打头和结尾的所有整数（如101，10101，1010101…）中有多少个质数，为什么？并求出所有质数．

Question

在1，0交替出现，且以1打头和结尾的所有整数（如101，10101，1010101…）中有多少个质数，为什么？并求出所有质数．

Answer 1

只有101这个质数，
设n≥2，有
A=1010…1…（2n+1位）=10²ⁿ+10^2n-2+••+10²+1=(102n+2−1)/(102−1)=((10n+1+1)(10n+1−1))/(99)
若n为奇数，即n=2m+1时，有(10n+1−1)/(99)=(102m+2−1)/(99)=1010…1…（2m+1位），
∴A=1010…1…（2m+1位）×10ⁿ⁺¹+1，即A为合数；
若n为偶数，则A=(10n+1−1)/(9)×(10n+1+1)/(11)，
即A亦为合数．