若（X，Y）服从二维正态分布N（0，0，1，1，ρ），令U=αX+βY，V=αX-βY，则Cov（U，V）为（）A．α2+β2B．α2-β2C．α2+2αβ+β2D．α2-2αβ+β2

Question

若（X，Y）服从二维正态分布N（0，0，1，1，ρ），令U=αX+βY，V=αX-βY，则Cov（U，V）为（　　）

A．α²+β²
B．α²-β²
C．α²+2αβ+β²
D．α²-2αβ+β²

Answer 1

∵Cov（U，V）=Cov（αX+βY，αX-βY）=Cov（αX+βY，αX）-Cov（αX+βY，βY）=
=Cov（αX，αX）+Cov（βY，αX）-Cov（αX，βY）-Cov（βY，βY）
=α²DX-β²DY
又由（X，Y）服从二维正态分布N（0，0，1，1，ρ），知
DX=DY=1
∴Cov（U，V）=α²-β²