设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩.x=66.5分，标准差～s=15分，问在显著性水平α=0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分

Question

设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩

.

x

=66.5分，标准差

～

s

=15分，问在显著性水平α=0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程．附：t分布表
P{t（n）≤t_P（n）}=P

	0.95	0.975
35	1.6896	2.0301
36	1.6883	2.0281

Answer 1

设该次考试考生成绩为X，则X～N（μ，σ²），
从X中随机抽取的36位考生的成绩，其样本均值记为

.

X

，样本标准差记为S，样本容量为n．
现在在显著性水平α=0.05下，进行检验：
①提出待检假设：H₀：μ=70，H₁：μ≠70
②选取样本（X₁，X₂，…，X₃₆）的统计量：T＝(.X−70)/((S)/(√(n)))，则T服从n-1=35自由度的t分布
③对给定的显著性水平α=0.05，确定t_α，使得：
P(|(.X−70)/((S)/(√(n)))|＞tα)＝0.05，即：P(|(.X−70)/((S)/(√(n)))|≤tα)＝0.95，
查表得t_α=1.6896
④将样本标准差记为S=15，样本均值

.

X

＝66.5，计算统计量T，得到：
|T|＝|(66.5−70)/((15)/(√(36)))|＝1.4＜1.6896
⑤由于|T|＜t_α，说明根据样本，小概率事件没有发生，因此我们接受假设，
即认为在显著性水平α=0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分．