设总体X的概率密度为f（x）=5e−5(x−θ)，x＞θ0，x≤θ其中θ＞0是未知参数，X1，…，Xn是来自总体X的简单随机样本记̂θ＝min(X1，X2，…，Xn)（1）求总体X的分布函数F（x）（2）求统计量̂θ的

Question

设总体X的概率密度为f（x）=

5e−5(x−θ)，x＞θ

0，x≤θ

其中θ＞0是未知参数，X₁，…，X_n是来自总体X的简单随机样本记

̂

θ

＝min(X1，X2，…，Xn)
（1）求总体X的分布函数F（x）
（2）求统计量

̂

θ

的分布函数F

̂

θ

（x）．
（3）若用

̂

θ

作为θ的估计量，它是否为θ的无偏估计量，为什么？

Answer 1

（1）∵F（x）=P（X≤x）=

∫

x −∞

f(x)dx=

0

，x＜θ

∫

+∞ θ

5e−5(x−θ)dx

，x≥θ

∴F(x)＝

0，x＜θ

1−e−5(x−θ)，x≥θ

（2）∵F

θ

(x)＝P(

θ

≤x)=P（X₁≤x，X₂≤x，…X_n≤x）
=P（X₁≤x）P（X₂≤x）…P（X_n≤x）
=[F（x）]ⁿ
∴F

̂

θ

(x)＝

0，x＜θ

1−e−5n(x−θ)，x≥θ

（3）∵f

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̂

θ