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已知:函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),f(2)=2,则f(2006)的值为.
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已知:函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),f(2)=2,则f(2006)的值为______.
▼优质解答
答案和解析
由g(x)=f(x-1),x∈R,得f(x)=g(x+1).
又f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=g(x-3)=f(x-4)
也即f(x+4)=f(x),x∈R.
∴f(x)为周期函数,其周期T=4.
∴f(2006)=f(4×501+2)=f(2)=2.
故答案为:2.
又f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=g(x-3)=f(x-4)
也即f(x+4)=f(x),x∈R.
∴f(x)为周期函数,其周期T=4.
∴f(2006)=f(4×501+2)=f(2)=2.
故答案为:2.
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