已知函数F(x)=f(x+1/2)-1是R上的奇函数an=f（0）+f（1/n）+…+f(n-1/n)+f(1).n为正整数,则an的通项公式

Question

已知函数F(x)=f(x+1/2)-1是R上的奇函数
an=f（0）+f（1/n）+…+f(n-1/n)+f(1).n为正整数,则an的通项公式

Answer 1

由已知得
F(x)+F(-x)=0
即f(x+1/2)-1+f(-x+1/2)-1=0
则f(x+1/2)+f(-x+1/2)=2
观察：(x+1/2)+(-x+1/2)=1恒成立
故an=f（0）+f（1/n）+…+f(n-1/n)+f(1)
再倒过来写,an=f（1）+f（n-1/n）+…+f(1/n)+f(0).
两式相加得
2an=[f(0)+f(1)]+……+[f(n-1)/n)+f(1/n)]=2+2+……+2=2(n+1)
故an=n+1