若函数y=f（x）对于一切实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），（1）求f（0）并证明y=f（x）是奇函数；（2）若f（1）=3，求f（-3）．

Question

若函数y=f（x）对于一切实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）求f（0）并证明y=f（x）是奇函数；
（2）若f（1）=3，求f（-3）．

Answer 1

证明：（1）令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0；
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）是奇函数；
（2）∵f（1）=3，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=[f（1）+f（1）]+f（1）=3f（1）=9，
又y=f（x）是奇函数；
∴f（-3）=-f（3）=-9．