已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=ax-1，其中a＞0，a≠1．（1）求f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式-1＜f（x-2）＜6．

Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a^x-1，其中a＞0，a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式-1＜f（x-2）＜6．

Answer 1

（1）当x＜0时，-x＞0，
∵f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=a^x-1，
∴f（x）=-f（-x）=-（a^-x-1）=-a^-x+1
∴f（x）=

ax−1，x≥0

−a−x+1，x＜0

      （6分）
（2）不等式-1＜f（x-2）＜6等价于：

x−2≥0

−1＜ax−2−1＜6

或

x−2＜0

−1＜−a−x+2+1＜6

，
即

x≥2

0＜ax−2＜7

或

x＜2

−5＜a2−x＜2

，
当a＞1时，解得

x≥2

x＜2+lo

g

7 a

或

x＜2

x＞2−lo

g

2 a

，
由于

log

2 a

＞0，

log

7 a

＞0，此时不等式的解集为（2-

log

2 a

，2+

log

7 a

），
当0＜a＜1时，解得

x≥2

x＞2+lo

g

7 a

或

x＜2

x＜2−lo

g

2 a

，
由于

log

2 a

＜0，

log

7 a

＜0，此时不等式的解集为（-∞，2）∪[2，+∞）即R．
综上，当a＞1时，不等式的解集为（2-

log

2 a

，2+

log

7 a

）；
当0＜a＜1时，不等式的解集为R．（13分）