若函数fx满足afx＋bf1/x=c/x,则fx为奇函数这是一道证明题

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若函数fx满足afx＋bf1/x=c/x,则fx为奇函数
这是一道证明题

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答案和解析

如果a=0
那么令x=1/x代入
bfx=cx
fx=cx/b
是奇函数
如果a不等于0
取x=1/x代入
af1/x+bfx=cx
afx＋bf1/x=c/x
第一个式子移项变形
f1/x=(cx-bfx)/a
代入第二个式子
afx+b(cx-bfx)/a=c/x
整理得到
(a-bb/a)fx=(c/x-bcx/a)
fx=(c/x-bcx/a)/(a-bb/a)
因此f-x=(-c/x+bcx/a)/(a-bb/a)=-fx
fx是奇函数

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