试证明函数f(x)=[√(1+x^2)+x-1]/[√(1+x^2)+x+1]为奇函数小括号内的是根号下的内容,／是除

Question

试证明函数f(x)=[√(1+x^2)+x-1]/ [√(1+x^2)+x+1]为奇函数
小括号内的是根号下的内容,／是除

Answer 1

①∵√(1+x^2)+x≥0
∴函数f(x）定义域为x∈R,
∴定义域是关于原点对称的
②化简：
f(x)=[√(1+x^2)+x+1-2]/ [√(1+x^2)+x+1]
=1-2/[√(1+x^2)+x+1]
=1-2*[√(1+x^2)-(x+1)]/｛[√(1+x^2)+x+1]*[√(1+x^2)-(x+1)]｝
=1-2*[√(1+x^2)-(x+1)]/(-2x)
=[√[1+(x)^2] -1]/x
f(-x)=[√[1+(-x)^2] +1]/(-x)
=-f（x)
即f(-x)=-f(x)
原命题得证.