在平面直角坐标系中,已知圆C1与圆C2相交于点P,Q,点P的坐标为(3,2),两圆半径的乘积为13/2,则圆C1与C2均与直线L：y=kx及x轴相切,求直线L的方程.半小时之内20分.

Question

在平面直角坐标系中,已知圆C1与圆C2相交于点P,Q,点P的坐标为(3,2),两圆半径的乘积为13/2,则圆C1与C2均与直线L：y=kx及x轴相切,求直线L的方程.半小时之内20分.

Answer 1

两切线均过原点
∴连心线所在直线经过原点,该直线设为y=tx,设两圆与x轴的切点分别为x1,x2
则两圆方程分别为
(x-x1)^2+(y-tx1)^2=(tx1)^2
(x-x2)^2+(y-tx2)^2=(tx2)^2
(3,2)均在两圆中
有
(3-x1)^2+(2-tx1)^2=(tx1)^2 (1)
(3-x2)^2+(2-tx2)^2=(tx2)^2 (2)
两圆半径乘积为13/2
即|tx1|*|tx2|=|x1x2|t^2=13/2 (3)
联立(1)(2)(3) 得到一个三元二次方程组
由于所求直线的倾角是连心线所在直线倾角的两倍有k=2t/(1-t^2) （两倍角公式）
要求直线l方程,求出k即可；要求k,求出t即可.
下面是求t的过程：
观察上述三元二次方程组
可得x1,x2是方程(3-x)^2+(2-tx)^2=(tx)^2的两根
化简得 x^2-(6+4t)x+13=0
x1x2=13
又由(3) |x1x2|*t^2=13/2
∴t^2=1/2
t=√2/2
k=√2/(1-1/2)=2√2
∴直线l的方程为y=2√2x