如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，PB交AC于点E，交圆O于点D，已知PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8．（1）求证：∠AEP=60°；（2）求BC．

Question

如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，PB交AC于点E，交圆O于点D，已知PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8．
（1）求证：∠AEP=60°；
（2）求BC．

Answer 1

（1）证明：∵PA是圆O的切线，PDB是圆O的割线，
∴PA²=PD•PB，又PD=1，BD=8，
∴PA=3，
又PE=PA，∴PE=3．
∵PA是圆O的切线，∴∠PAE=∠ABC=60°，
又PE=PA，∴△PAE是等边三角形，
∴∠AEP=60°．
（2）∵PE=3．∴DE=PE-PD=2，∴BE=BD-DE=6．
由相交弦定理，得AE•CE=BE•DE，∴CE=4．
∵∠BEC=60°，
∴BC=√(BE2+CE2−2BE•CE•cos60°)
=√(36+16−2×6×4×(1)/(2))=2√(7)．