已知圆心C在x轴上的圆过点A（2，2）和B（4，0）．（1）求圆C的方程；（2）求过点M（4，6）且与圆C相切的直线方程；（3）已知线段PQ的端点Q的坐标为（3，5），端点P在圆C上运动，求线段PQ的

Question

已知圆心C在x轴上的圆过点A（2，2）和B（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点M（4，6）且与圆C相切的直线方程；
（3）已知线段PQ的端点Q的坐标为（3，5），端点P在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹．

Answer 1

（1）线段AB的中点坐标为M（3，1），斜率为kAB=(0-2)/(4-2)=-1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y-1=x-3，即为y=x-2．
令y=0，得x=2，即圆心为C（2，0）．
由两点间的距离公式，得r=√((2-2)2+22)=2．
∴适合题意的圆C的方程为（x-2）²+y²=4．
或：设圆心为C（a，0），由|AC|=|BC|得  √((a-2)2+22)=√((a-4)2)，
解得a=2，∴圆心为C（2，0）．
又半径r=|BC|=|4-2|=2．
∴适合题意的圆C的方程为（x-2）²+y²=4；
（2）由（1）知圆C的圆心坐标为C（2，0），半径r=2，
（i）当过点M（4，6）且与圆C相切的直线的斜率不存在时，其切线方程为x=4．
（ii）当过点M（4，6）且与圆C相切的直线的斜率存在时，
设为k，则切线方程为kx-y-4k+6=0．
由圆心到切线的距离等于半径，得(|2k-4k+6|)/(√(1+k2))=2，解得k=(4)/(3)，
∴切线方程为(4)/(3)x-y-4×(4)/(3)+6=0，即4x-3y+2=0．
因此，过点M（4，6）且与圆C相切的直线方程为x=4或4x-3y+2=0；
（3）设点N的坐标为（x，y），P点的坐标为（x₀，y₀）．
由于Q点的坐标为（3，5）且N为PQ的中点，∴x=(3+x0)/(2)，y=(5+y0)/(2)，
于是有x₀=2x-3，y₀=2y-5  ①，
∵P在圆C上运动，∴有(x0-2)2+

y

2 0

=4，
将①代入上式得（2x-5）²+（2y-5）²=4，即（x-(5)/(2)）²+（y-(5)/(2)）²=1．
∴点N的轨迹是以（(5)/(2)，(5)/(2)）为圆心，半径为1的圆．