某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线f(x)＝1−43x2的一

Question

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线f(x)＝1−(4)/(3)x2的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M，N，交曲线于点P，则△OMN（O为坐标原点）的面积的最小值为

(2)/(3)

(2)/(3)

．

Answer 1

求导函数，可得f′(x)＝−(8)/(3)x
设P（m，1−(4)/(3)m2）（m＞0），则过点P的切线方程为y-（1−(4)/(3)m2）=−(8)/(3)m×（x-m）
令y=0，则x=(m)/(2)+(3)/(8m)，令x=0，则y=1+(4)/(3)m2
∴△OMN（O为坐标原点）的面积为S=(3(1+(4)/(3)m2)2)/(16m)=(3)/(16)((1)/(m)+(8)/(3)m+(16)/(9)m3)
求导函数可得S′=(3)/(16)(−(1)/(m2)+(8)/(3)+(16)/(3)m2)
令S′=0，可得16m⁴+8m²-3=0
∴m=(1)/(2)
∴m＞(1)/(2)时，函数单调增，0＜m＜(1)/(2)时，函数单调减
∴m=(1)/(2)时，函数取得极小值且为最小值，最小值为(2)/(3)
故答案为：(2)/(3)．