已知函数f（x）=4x+a•2x+1+4（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；（2）若关于x的方程f（x）=0有两个大于0的实根，求a的取值范围；（3）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最小值．

Question

已知函数f（x）=4^x+a•2^x+1+4
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0有两个大于0的实根，求a的取值范围；
（3）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

（1）设t=2^x＞0，则y=g（t）=t²+2at+4，
当a=1时，y=t²+2t+4=（t+1）²+3，对称轴为t=-1，开口向上．
∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（0）=4．
∴函数f（x）值域为（4，+∞）．
（2）由x＞0得t＞1．
∴方程f（x）=0有两个大于0的实根等价于方程g（t）=t²+2at+4=0有两个大于1的实根，
则需  

△＝4a2−16≥0

−(2a)/(2)＞1

g(1)＝5+2a＞0

解得

a≥2或a≤−2

a＜−1

a＞−(5)/(2)

，
∴−(5)/(2)＜a≤−2．
（3）由x∈[1，2]得t∈[2，4]，g（t）=（t+a）²+4-a²．
①当-a≥4，即a≤-4时，g（t）在[2，4]上单调递减，
∴g（t）_min=g（4）=20+8a；
②当2＜-a＜4，-4＜a＜-2时，g(t)min＝g(−a)＝4−a2；
③当-a≤2即a≥-2时，g（t）在[2，4]上单调递增，
∴g（t）_min=g（2）=8+4a．